L numere reale constituie cel mai utilizat set de numere în matematică și în viața de zi cu zi. Acestea includ numere raționale și iraționale și variază de la numerele pe care le folosim pentru numărare, măsurare sau plată, până la cele care apar în concepte avansate precum calculul sau fizica. Orice număr care poate fi reprezentat într-un linie numerică continuă, fie că este întreg, fracționar sau cu zecimale infinite, face parte din numerele reale.
Acest grup a apărut istoric din nevoia de a descrie cu exactitate Mărimi care nu puteau fi exprimate cu numerele cunoscute la vremea respectivă. Expresii vagi precum „foarte mic” sau „aproape zero” s-au dovedit insuficiente pentru dezvoltarea riguroasă a analizei matematice, ducând la formalizarea conceptelor de limită și număr real. Mulți istorici plasează procesele de rafinare și formalizare a conceptului între Secolele al XV-lea și al XVII-leadeși definiția modernă și riguroasă a fost consolidată ulterior.
Deși civilizații antice precum cea egipteană foloseau deja fracțiunileGrecii au fost cei care au studiat conceptul de „număr” într-un mod mai filosofic. Școala pitagoreică susținea că „totul este număr” și, atunci când încercau să exprime anumite lungimi (cum ar fi diagonala unui pătrat), au descoperit că Nu toate mărimile pot fi scrise ca fracții de numere întregi.Din aceasta apar numerele iraționale, care ulterior aveau să completeze mulțimea numerelor reale.
Ce sunt numerele reale și cum sunt reprezentate?
Numerele reale sunt definite ca toate numerele care corespund unui punct de pe axa numerelor realeAceastă linie se extinde nelimitat spre stânga (valori negative) și spre dreapta (valori pozitive), incluzând zero, fracții, zecimale finite și zecimale infinite repetitive și infinite nerepetitive.
Această mulțime este de obicei notată cu litera R sau simbolul ℝFormal, mulțimea numerelor reale poate fi descrisă ca reuniunea a două submulțimi principale: numere raționale (Q) și numere iraționale (I). Vreau să spun, ℝ = Q ∪ I.
Exemple de numere reale sunt: 5, 0, −9, 3/4, −7/2, 3,45, 0,333… (1/3), √2, √10, π, eprintre multe altele. Toate acestea pot fi localizate pe axa numerelor reale prin intermediul unui punct bine definit.
În plus, numerele reale sunt o submulțime de numere complexeNumerele complexe sunt reprezentate ca a + bi, unde a și b sunt numere reale, iar ei este unitatea imaginară (rădăcina pătrată a lui −1). Când b = 0, numărul complex a + 0i coincide cu un număr real, deci fiecare număr real poate fi văzut ca un număr complex cu partea imaginară zero.
Clasificarea numerelor reale în funcție de tipul lor
Clasificarea numerelor reale este de obicei organizată în mai multe submulțimi imbricate. Cele mai frecvente sunt numere naturale, întreg, raţional e iraționaleLa scară largă, în cadrul lui ℝ găsim două mari grupuri: raţional e iraționaleȘi în cadrul numerelor raționale, există numere naturale, întregi și fracționare.
1. Numere raționale
Se numește numere rationale tuturor celor care pot fi reprezentați ca cotientul a două numere întregiAdică, ca o fracție p/q unde p și q sunt numere întregi și q ≠ 0. Această mulțime este reprezentată de litera QNumerele raționale includ numere pozitive, numere negative și zeroPrin urmare, ele acoperă o gamă largă de magnitudini.
Un număr rațional poate fi scris ca fracție, dar poate apărea și ca zecimală exactă (de exemplu 3,5), zecimală repetitivă pură (0,7777…) sau zecimală repetitivă mixtă (2,58333…). Oricare dintre aceste cazuri admite întotdeauna o reprezentare ca fracție de numere întregi.
Numerele raționale cuprind ambele întreg ca fracționarPrin urmare, orice număr întreg (−3, 0, 5…) este, de asemenea, rațional, deoarece poate fi scris ca p/1. Aceasta înseamnă că ℤ este o submulțime a lui Q.
Numerele raționale ne permit să efectuăm operații fără a părăsi mulțimea Adunare, scădere, înmulțire și împărțire (cu excepția împărțirii la zero). Prin urmare, se spune că Q este închis pentru aceste operațiuni.
a) Numere întregi
L numere enteros sunt mulțimea formată de numere naturale, Sa opuse negative și zeroAcestea sunt reprezentate de litera Z și includ valori precum …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Pe o axă numerică, numerele întregi pozitive apar la la dreapta lui zero, zero ocupă punct central și numerele întregi negative sunt plasate la stângaAcest aranjament permite o comparație ușoară a dimensiunii lor: cu cât mai la dreapta, cu cât numărul este mai mare.
- Acestea sunt numite numere naturale pentru care folosim numără elemente sau indică ordinea (1, 2, 3, ...). Sunt numere întregi pozitive și sunt de obicei notate cu litera N.
- El zero reprezintă un valoare nulăUn zero nu adaugă nicio valoare atunci când este singur, dar poziția sa într-un număr îi schimbă complet valoarea. Un zero la dreapta unei cifre îi înmulțește valoarea cu zece (2 devine 20), în timp ce la stânga nu modifică numărul (02 egal cu 2).
- L numere întregi negative Acestea reprezintă situații opuse celor naturale, cum ar fi pasive, temperaturi sub zero o niveluri sub o referințăPentru a le denumi, cuvântul „minus” se plasează înaintea numărului: „minus patru” se scrie −4.
Numerele întregi sunt închise sub adunare, scădere și înmulțireOperația dintre două numere întregi are întotdeauna ca rezultat un alt număr întreg. Totuși, împărțirea a două numere întregi poate avea ca rezultat un număr care nu este un număr întreg (de exemplu, 3/4), deci acestea nu sunt închise prin împărțire.
b) Fracțional
Numerele raționale includ și numere fracționare, care a provenit pentru rezolva problemele de distribuție când împărțirea numerelor naturale nu a dat un rezultat întreg.
Un număr fracționar este o expresie care indică împărțirea unei cantități la altaSe compune dintr-un numărător (suma care este împărțită) și o numitor (în câte părți este împărțit), separate printr-o bară orizontală sau diagonală.
Deși fiecare număr întreg poate fi considerat o fracție cu numitor 1, în această secțiune se face o distincție specială între fracții proprii și improprii:
- Las fracții adecvate Acestea sunt cele în care numărătorul este mai puțin decât numitorul. Acestea reprezintă cantități mai mic decât unul, de exemplu 3/5.
- Las fracții improprii au un numărător mai mare sau egal cu decât numitorul, care indică o cantitate mai mare sau egal cu unu, cum ar fi 7/4 sau 5/5.
În plus, multe numere raționale pot fi scrise și ca zecimale exacte sau periodiceAstfel, un număr precum 0,25 este echivalent cu 1/4 (zecimal exact), în timp ce 0,333… este echivalent cu 1/3 (zecimal periodic pur).
2. Numere iraționale
L numere irationale Ei sunt asta Nu pot fi exprimate ca fracții de două numere întregiReprezentarea sa zecimală este întotdeauna infinit și neperiodic: zecimalele continuă fără a se repeta într-un model fix.
Exemple clasice sunt număr π (relația dintre lungimea unei circumferințe și diametrul acesteia), e numărul (baza logaritmilor naturali), raportul de aur φ sau rădăcinile numerelor prime care nu sunt pătrate perfecte, cum ar fi √2, √3, √5, √7 etc.
Din punct de vedere istoric, numerele iraționale au apărut atunci când un discipol al lui Pitagora a încercat să exprime diagonala unui pătrat cu latura 1 ca fracție, descoperind că Nu au existat două numere întregi p și q astfel încât p/q = √2În ciuda rezistenței inițiale a școlii pitagoreice, această constatare a arătat că mulțimea numerelor raționale nu era suficientă pentru a descrie toate mărimile geometrice.
Ființele iraționale pot fi văzute ca fiind complementul numerelor raționale în cadrul numerelor realeAdică, dacă numim Q mulțimea numerelor raționale și ℝ mulțimea numerelor reale, mulțimea numerelor iraționale poate fi descrisă ca ℝ − Q: toate numerele reale care nu sunt raționale.
În plus, se disting două tipuri importante de numere iraționale: algebric y transcendent.
- L numere algebrice sunt cele care reprezintă o soluție pentru o ecuație algebrică cu coeficienți întregi. De exemplu, √2 este irațională și algebrică, deoarece este o soluție a lui x² − 2 = 0.
- L numere transcendente Nu pot fi obținute ca soluții la nicio ecuație algebrică cu coeficienți întregi. Nu sunt exprimate printr-un număr finit de rădăcini și zecimalele sale nu urmează niciun model recognoscibilAcestea includ π și e.
Proprietățile fundamentale ale numerelor reale
Mulțimea numerelor reale ne permite să efectuăm operații cu adunare și înmulțire îndeplinind o serie de proprietăți care facilitează calculul și raționamentul matematic. Printre cele mai importante se numără blocare, comutativitatea, asociativitatea, existența elementelor neutre şi existența inverselor.
Lacăt
Proprietatea de blocare indică faptul că suma sau produsul a două numere reale este întotdeauna un alt numere număr realDacă a și b aparțin lui ℝ, atunci a + bya·b aparțin și ele lui ℝ. Acest lucru ne permite să operăm fără a părăsi mulțimea, lucru esențial pentru dezvoltarea algebrei și analizei.
Comutativitate
La comutativitate Se precizează că rezultatul adunării sau înmulțirii a două numere reale Nu depinde de ordine unde se efectuează operația. Adică a + b = b + aya·b = b·a pentru toate numerele reale a și b. Această proprietate simplifică foarte mult calculele și scrierea expresiilor.
Proprietate asociativă
La Proprietate asociativă indică faptul că, la adunarea sau înmulțirea trei sau mai multe numere realeModul în care sunt grupate nu afectează rezultatul. În simboluri: (a + b) + c = a + (b + c) și (a·b)·c = a·(b·c). Datorită acestui fapt, operațiile lungi pot fi reorganizate pentru a fi mai ușor de rezolvat.
Element neutru
În numerele reale există două elemente neutre fundamental:
- El zero este aditiv neutrudeoarece adăugarea sa la orice număr real nu îi modifică valoarea: a + 0 = a.
- El unul este identitate multiplicativă, deoarece înmulțirea lui cu orice număr real dă același număr: a·1 = a.
Inversul aditiv și multiplicativ
Pentru fiecare număr real există un inversă aditivă și, cu excepția lui zero, a invers multiplicativ:
- El inversă aditivă Identitatea aditivă a unui număr a este −a, deoarece atunci când acestea sunt adunate, se obține identitatea aditivă: a + (−a) = 0.
- El invers multiplicativ o reciproc al unui număr a ≠ 0 este 1/a, deoarece a·(1/a) = 1.
Numere reale pe axa numerelor și în viața de zi cu zi
Orice număr real poate fi reprezentat printr-un punct pe axa numerelorFiecare punct de pe acea linie corespunde unui număr real unic. Această corespondență biunivocă ne permite să vizualizăm operații precum adunarea (deplasări la dreapta sau la stânga), scăderea, inegalitățile și distanțele.
Pe axa numerelor reale, ordinea numerelor este determinată de poziția sa: cu cât un punct este mai la dreapta, Cu cât numărul este mai mare asociat; cu cât mai la stânga, cu atât va fi mai micNu există un „ultim” număr real pozitiv sau negativ, deoarece mulțimea ℝ conține elemente infinite în ambele direcții.
În viața de zi cu zi, numerele reale sunt folosite constant: de exemplu măsurați lungimi (metri, centimetri), temperaturi exprese (grade pozitive și negative), calculați timpii, gestionează banii (solduri, datorii, dobânzi), comparați orarele o analiza datelor în statistică și economie.
În domeniul științific și tehnologic, numerele reale stau la baza calcul diferențial și integral, fizica clasică și modernă, inginerie, calculatoare și multe alte discipline. Mărimi precum viteza, accelerația, energia sau intensitatea sunt exprimate cu numere reale, iar gestionarea lor corectă permite modelarea fenomenelor complexe.
Înțelegerea clasificării numerelor reale, a submulțimilor și proprietăților acestora nu numai că facilitează studiul matematicii, ci și Întărește raționamentul logic și abstract.Ajută la structurarea gândirii și îmbunătățește capacitatea de a rezolva probleme în contexte foarte diferite.